Librus

Oficjalna aplikacja Librus

Powtarzamy! Równania i nierówności

W tej części naszych powtórek skupimy się przede wszystkim na równaniach i nierównościach. Wrócimy też do wyrażeń algebraicznych w kontekście rozkładu wielomianów, niezbędnego nam do rozwiązywania równań wielomianowych.

— Równania i nierówności nie są tematem, który budziłby w uczniach niepokój. Jednak diabeł tkwi w szczegółach, a niejednokrotnie umiejętności dotyczące tego działu można by podsumować słowami „wydaje mi się, że wiem”. Innymi słowy, większość uczniów co nieco kojarzy i czuje się w temacie dość pewnie. Pamiętajmy jednak, że zadania dotyczące równań i nierówności to zazwyczaj zadania zamknięte, a odpowiedzi się tak skonstruowane, żeby  „złapać” ucznia na najbardziej typowych błędach. Bardzo często różnica między „wydaje mi się, że wiem” a „wiem” jest taka, jak między zerem a jedynką. Warto więc zainwestować czas, by wiedzę na ten temat dobrze sobie poukładać, bo małym nakładem możemy zdobyć kilka dodatkowych punktów — zachęca Dobrawa Szlachcikowska.

Przykładowo w zeszłym roku szkolnym na egzaminie podstawowym z matematyki były aż cztery zadania z równań i nierówności oraz dwa z układów równań. Łącznie za zadania te można było zdobyć aż 9 punktów.

RÓWNANIA

Jakie równania uczniowie mogą spotkać na maturze i które mogą być dla nich problematyczne?

— Na maturze podstawowej uczniów obowiązują równania liniowe, kwadratowe, proste równania wymierne i równania wielomianowe — odpowiada Dobrawa.

Zacznijmy od tych ostatnich, bo wymagają dłuższego komentarza. Tego typu równania można było znaleźć praktycznie w każdym arkuszu przed 2015 rokiem.

Równania wielomianowe, które uczeń może spotkać na maturze podstawowej z matematyki, to:

  • równania wielomianowe w postaci iloczynowej,
  • równania, które można sprowadzić do postaci iloczynowej za pomocą wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias,
  • równania, które można sprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania wyrazów.
Sprawdź, czy potrafisz rozwiązać równania należące do powyższych kategorii. Rozwiąż poniższe, a więcej przykładów oraz rozwiązania znajdziesz w załączonym pliku PDF oraz w linkach na końcu artykułu.

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_1_nowa.jpg

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_2.jpg

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_3_nowa.jpg

Jeśli nie pamiętasz jak rozwiązuje się równania wielomianowe, przypomnij sobie ten temat oglądając filmy Pi-stacji:

  • Wprowadzenie do równań wielomianowych #1 [ Równania wielomianowe ]

  • Rozkład wielomianów na czynniki − grupowanie wyrazów #3 [ Równania wielomianowe ]

Czy coś jeszcze w temacie równań może zaskoczyć maturzystę?

Równania kwadratowe to jeden z ulubionych tematów uczniów. Małą pułapką mogą być natomiast pozornie banalne równania liniowe. Są omawiane jeszcze w szkole podstawowej, więc jeśli pojawiają się na maturze, to z pewnymi utrudnieniami w postaci ułamków lub pierwiastków. Szczególnie te drugie mogą budzić konsternację. Czy u Ciebie także? Sprawdź!

Rozwiąż równanie (rozwiązanie na końcu artykułu):

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_4.jpg

Możesz także powtórzyć równania liniowe z Pi-stacją.

  • Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą #1 [ Równania i nierówności liniowe ]

Jeśli potrzebujesz bardziej gruntownej powtórki obowiązujących na maturze równań, obejrzyj nagranie webinaru dotyczącego tego zagadnienia. Znajdziesz tam wszystkie typy równań, z wyjątkiem wspomnianych wyżej równań wielomianowych.

  • #2 Przygotowanie do matury 2022 z matematyki (poziom podstawowy)

NIERÓWNOŚCI

O Ile równania kwadratowe zwykle nie sprawiają problemów, o tyle próba rozwiązania nierówności często kończy się niepowodzeniem. Dlaczego tak się dzieje? Zapytaliśmy nauczycielkę.

- Nierówności kwadratowe obliczamy dwustopniowo. Pierwszy krok to znalezienie miejsc zerowych. Drugi – to odczytanie odpowiednich przedziałów lub punktów. I to właśnie z drugim krokiem są największe problemy, choć i w pierwszym jest kilka pułapek — mówi Dobrawa Szlachcikowska. — Kiedy nierówność jest zupełna, czyli żaden ze współczynników nie jest równy zeru (np. x²+2x–3>0), to naturalnym krokiem jest obliczenie delty i miejsc zerowych, jeśli istnieją. Problem pojawia się przy nierównościach niezupełnych, zwłaszcza, gdy b=0. Przykładowo, nierówność x²–4<0 aż prosi się o przeniesienie czwórki i doprowadzenie do postaci x²<4, z którą uczniowie nie za bardzo wiedzą, co zrobić. Jak tego uniknąć? Skoro pierwszym krokiem rozwiązania nierówności jest obliczenie miejsc zerowych, warto ten krok zaznaczyć, zapisując równanie zamiast nierówności.

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_5.jpg

Po obliczeniu miejsc zerowych wykonujemy poglądowy rysunek paraboli (w tym przypadku a>0, więc parabola ma ramiona skierowane ku górze) i odczytujemy przedział, w którym oryginalna nierówność jest spełniona, czyli w którym wartości funkcji są mniejsze od zera – czyli przedział, w którym parabola znajduje się pod osią x. W tym przypadku jest to przedział obustronnie otwarty od –2 do 2.

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_6_nowa.jpg 

— Drugim problemem są nierówności, w których delta jest ujemna. Często jest ona interpretowana jako brak rozwiązań nierówności – podobnie, jak ma to miejsce w przypadku równań. Musimy jednak pamiętać, że ujemna delta oznacza jedynie brak miejsc zerowych — tłumaczy Dobrawa.

Teraz Ty przetestuj się na kilku nierównościach kwadratowych (rozwiązania na końcu artykułu):

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_7.jpg

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_8.jpg 

Podobnie jak w przypadku równań proponujemy obejrzenie nagrania webinaru na temat nierówności:

  • #3 Przygotowanie do matury 2022 z matematyki (poziom podstawowy)

W kolejnym artykule zmierzymy się z działem Funkcje. Przyjrzymy się wymaganiom i po raz kolejny pokażemy, na co należy zwrócić szczególną uwagę podczas powtórek. Wspólne powtórki dla maturzystów, przygotowane przez Librus i Pi-stację, będą trwały aż do kwietnia. W poniedziałek, 8 kwietnia, na stronie https://pistacja.tv/egzaminy opublikujemy bezpłatny, autorski, próbny arkusz maturalny. Zobacz, jak wyglądały nasze propozycje zadań egzaminacyjnych z ubiegłych latach: link.

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_10.png

Ćwiczenia interaktywne do działu „Równania i nierówności” na portalu pistacja.tv:

Rozwiązania zadań z artykułu

a_matura_rownania_i_nierownosci_LR_graf_9_nowa2.jpg


a_powtarzamy_liczby_rzeczywiste_LR_logo.jpg



Interesuje Cię ta tematyka? Przeczytaj również:

Najbardziej aktualne artykuły: