Potęgowanie i pierwiastkowanie pojawiają się w każdym arkuszu egzaminu ósmoklasisty z matematyki. Nierzadko są elementami zadań z innych działów, występując w wyrażeniach algebraicznych czy obliczeniach geometrycznych. Bez umiejętności posługiwania się nimi zdanie egzaminu może okazać się niemożliwe.

Za nami pierwsze powtórki z liczb naturalnych i całkowitych. Nie są więc Ci obce działania na liczbach całkowitych, zarówno pamięciowe jak i pisemne. Sprawność rachunkowa, jaką udało Ci się osiągnąć jest niezwykle ważna, ponieważ jej brak jest jedną z najczęstszych przyczyn błędów popełnianych podczas rozwiązywania zadań z potęgowania.

POTĘGI

— Jeśli uczniowie nie opanują podstawowych działań, takich jak dodawanie i mnożenie, to nie są w stanie poprawnie zinterpretować definicji potęgi, a co za tym idzie rozwiązywać bardziej skomplikowanych zadań. Wówczas zdarza się, że iloczyn jednakowych czynników, czyli mnożenie przez siebie takich samych liczb, zapisują niepoprawnie. Na przykład sześcian liczby 5 zapisują jako 3⋅5, zamiast 5³ — zauważa Anna Soliwocka, nauczycielka matematyki i fizyki.

Sprawdź, czy ten problem dotyczy także Ciebie. Spróbuj rozwiązać poniższe zadania. (Rozwiązania na końcu artykułu. Więcej ćwiczeń w załączonym pliku PDF oraz na pistacja.tv).

1. Zapisz potęgę w postaci iloczynu jednakowych czynników:

2. Potęgę 3⁴ można zapisać w postaci iloczynu jako – wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych:

Jeśli nie poszło Ci najlepiej, przypomnij sobie ten temat oglądając filmy Pi-stacji:

• Pojęcie potęgi #1 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ]
  
  

• Przedstawianie liczb w postaci potęg jednej liczby #7 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ]
  
  

• Potęgowanie liczb ujemnych - przypomnienie #3 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ]
  
  

Zdecydowana większość zadań egzaminacyjnych to zadania wykorzystujące własności potęgowania, czyli wymagające wykonania mnożenia lub dzielenia potęg o tych samych podstawach albo tych samych wykładnikach. Bywa, że zarówno wykładniki i podstawy są różne i trzeba najpierw przekształcić wyrażenie w taki sposób, aby dojść do wspólnych podstaw lub wspólnych wykładników. Na przykład:

— Problem pojawia się w momencie, gdy mamy kwadraty lub sześciany liczb naturalnych i trzeba zastosować własności potęgowania i regułę kolejności wykonywania działań. Uczniowie bardzo często gubią się w mnogości nawiasów i działań. A wtedy łatwo o pomyłkę, która może kosztować sporo punktów w trakcie egzaminu ósmoklasistów — dodaje Anna Soliwocka.

Sprawdź, czy jesteś w grupie ryzyka, rozwiązując poniższe zadania. (Rozwiązania na końcu artykułu. Więcej ćwiczeń w załączonym pliku PDF oraz na pistacja.tv.):

3. Korzystając z własności działań na potęgach, oblicz:

Jeśli okazało się, że masz z tym problem, obejrzyj filmy Pi-stacji:

• Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach #8 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ]
  
  

• Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach #9 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ]
  
  

• Działania na potęgach o wykładniku naturalnym #12 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ]
  
  

PIERWIASTKI

Po opanowaniu potęgowania, kolejna trudność jaką możesz mieć, to obliczanie wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych. — Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Znając stopień pierwiastka, możemy znaleźć liczbę, która podniesiona do potęgi równej stopniowi pierwiastka, da nam liczbę podpierwiastkową. Wystarczy odwrócić rozumowanie — tłumaczy Anna Soliwocka.

Zastanawiasz się, czy to potrafisz? Najlepiej sprawdź:

4. Oblicz wartość pierwiastka:

Jeśli nie całkiem Ci się udało, obejrzyj film Pi-stacji:

• Pierwiastek kwadratowy - wprowadzenie #1 [ Pierwiastek kwadratowy ]
  
  

• Pierwiastek sześcienny - wprowadzenie #1 [ Pierwiastek sześcienny ]
  
  

Ostatnim zagadnieniem związanym z pierwiastkowaniem, na którym warto się skupić, jest szacowanie wartości pierwiastków.

— To jedno z najczęstszych zadań, jakie pojawia się na egzaminie ósmoklasisty, jeśli chodzi o pierwiastki – i niestety wypada słabo. W 2021 r. poprawnie rozwiązało je tylko 44% zdających — przyznaje Anna Soliwocka.

Rozwiązywanie takich zadań polega na znalezieniu dwóch pierwiastków o znanych wartościach – jednego o nieco mniejszej liczbie podpierwiastkowej od podanego oraz drugiego o nieco większej liczbie podpierwiastkowej od podanego. Na przykład, aby oszacować wartość √5, wystarczy zauważyć, że √4=2 oraz √9=3. Wiemy więc, że wartość pierwiastka z 5 znajduje się między 2 a 3.

Jeśli zastanawiasz się, w czym trudność, rozwiąż to zadanie:

5. Wskaż, między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się wartość √13. Wybierz poprawne rozwiązanie spośród podanych:

Pracując nad rozwiązywaniem takich zadań, warto poświęcić trochę czasu na zaznaczanie wartości pierwiastków na osi liczbowej. Jeśli nadal masz problemy, obejrzyj film Pi-stacji:

• Szacowanie wartości pierwiastków #3 [ Działania na pierwiastkach ]
  
  

W naszym artykule skupiamy się na najczęstszych błędach uczniowskich. Jeśli jednak powtarzać bardziej kompleksowo, obejrzyj nasz webinar powtórkowy z 2022 roku:

• #2 Przygotowanie do egzaminu ósmoklasisty 2022 z matematyki
  
  

Ćwiczenia interaktywne do działu Potęgi i pierwiastki na portalu pistacja.tv

• Potęgowanie jako iloczyn
• Iloczyn jako potęgowanie
• Mnożenie i dzielenie potęg
• Pierwiastki na osi liczbowej 1
• Pierwiastki na osi liczbowej 2
• Miejsce w kolejce
• Potęga potęgi tekstowo
• Pierwiastek sześcienny z ułamka dziesiętnego
• Pierwiastek sześcienny z ułamka zwykłego
• Pierwiastek sześcienny z liczby mieszanej
• Pierwiastkowy misz-masz
• Szacowanie pierwiastków
• Szacowanie wartości wyrażeń z pierwiastkami