Tematem naszych dzisiejszych powtórek z Pi-stacją są funkcje. Jakie zagadnienia z tego tematu są dla uczniów najtrudniejsze? Jakie czekają na nich pułapki? To pytania, z jakimi zmierzymy się w tym tekście.

W wymaganiach egzaminacyjnych temat funkcji obejmuje sporą listę zagadnień. Warto się z nimi zapoznać. Wszystkie znajdziesz na stronie 4 i 5 Aneksu do wymagań egzaminacyjnych CKE.

Od czego warto zacząć powtórki dotyczące tematu funkcji i jakie tematy sprawiają uczniom największe problemy? Spytaliśmy nauczycielkę.

POJĘCIA

— Funkcje to spory dział matematyki, który do tego w całości jest omawiany w szkole średniej. Uczeń poznaje więc w stosunkowo krótkim czasie dużo nowych pojęć. Jeśli pojęcia te nie są dobrze przyswojone, problemy pojawiają się już na etapie czytania polecenia, bo wydaje się być ono napisane w obcym języku. I podobnie jak w obcym języku, jeśli w trakcie czytania zdania słowa nie są rozumiane od razu, sens zdania/zadania umyka. — mówi Dobrawa Szlachcikowska. — Takie słowa i zwroty jak: argumenty, wartości funkcji, dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność czy miejsca zerowe to niezbędne minimum, aby wydajnie zabrać się za powtórki. Ich znajomość pozwoli bez większego wysiłku rozwiązać większość zadań zamkniętych dotyczących funkcji.

Te podstawowe pojęcia możesz powtórzyć oglądając playlistę Pi-stacji dotyczącą własności funkcji:

• Czym są argumenty i wartości funkcji? #1 [Własności funkcji]
  
  

INTERPRETACJA WSPÓŁCZYNNIKÓW

Interpretacja współczynników w funkcji liniowej i kwadratowej jest jednym z wymagań egzaminacyjnych. Nie jest to jednak tylko punkt do odhaczenia. Ich opanowanie pozwala wyobrazić sobie wykres funkcji po jednym spojrzeniu na jej wzór. Mając tę umiejętność można rozwiązać niejedno zadanie bez chwytania za długopis. Jak ją opanować?

— Przede wszystkim warto ćwiczyć szkicowanie wykresów funkcji liniowej i kwadratowej zapisanej w różnych postaciach: ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Ćwiczenie należy wykonywać do momentu, aż wykonywane czynności staną się rutynowe, a rysunek przestanie być potrzebny — radzi Dobrawa Szlachcikowska.

• Współczynniki funkcji liniowej y = ax + b #3 [Funkcja liniowa]
  
  

• Rola współczynnika a we wzorze funkcji kwadratowej #3 [Funkcja kwadratowa - postać ogólna i kanoniczna]
  
  

PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI

Przekształcanie wykresów funkcji to przesuwanie ich lub przekształcanie w symetrii względem osi układu współrzędnych. Dlaczego sprawia to uczniom problemy?

— Nie jest to temat trudny, jednak zapis typu g(x)=f(–x), oznaczający symetrię względem osi OY, czy y=f(x)–2, oznaczający przesunięcie wykresu funkcji o dwie jednostki w dół, potrafi zniechęcić niejednego ucznia. Do jego opanowania wystarczy niewielka ilość czasu i mała powtórka tuż przed maturą, żeby przypomnieć sobie, co który zapis oznaczał. Warto, bo zadanie tego typu można znaleźć w większości arkuszy maturalnych — zachęca nauczycielka.

Poniżej przykładowe zadania dotyczące tego tematu.

Informacja do zadań: Wykres przedstawia wykres funkcji f(x).

Przesuwanie funkcji na przykładzie funkcji kwadratowej możesz powtórzyć z filmem Pi-stacji:

• Postać kanoniczna - wprowadzenie #4 [Funkcja kwadratowa - postać ogólna i kanoniczna]
  
  

WYZNACZANIE WZORÓW FUNKCJI NA PODSTAWIE DANYCH

Wartą opanowania umiejętnością jest zapisywanie wzorów funkcji, głównie kwadratowej, na podstawie podanych w zadaniu informacji. Tego typu zadania często występują w formie zadań otwartych, za które uczeń może uzyskać od dwóch do czterech punktów, w zależności od stopnia trudności. Gra jest więc warta świeczki, zwłaszcza, że zadania te są stosunkowo powtarzalne. Jak podejść do tego tematu?

— Tu również przyjdzie nam z pomocą ćwiczenie w szkicowaniu wykresów funkcji. Dzięki temu, że potrafimy wyobrazić sobie wykres na podstawie samego wzoru, bez problemu opanujemy także działanie odwrotne, czyli przekształcenie wykresu lub danych o nim we wzór funkcji. Podane informacje, typu: miejsca zerowe, punkty przez które funkcja przechodzi, jej oś symetrii, czy współrzędne wierzchołka, od razu znajdą swoje odzwierciedlenie we współczynnikach, które można bezpośrednio wprowadzić do wzoru funkcji. I tak, podanie miejsc zerowych skłoni nas do rozpoczęcia poszukiwań wzoru funkcji w jej postaci iloczynowej, a współrzędne wierzchołka – do próby zapisania funkcji w postaci kanonicznej. Brak jakiejś danej? Tu przydałby się dodatkowy punkt, przez który funkcja przechodzi. Mózg widzi nie problem, a obraz, do którego dopasuje odpowiedni wzór. — komentuje Dobrawa.

Spróbuj swoich sił na konkretnych przykładach. Poniżej dwa zadania na różnym stopniu trudności.

Poniżej proponujemy filmy dotyczące różnych postaci funkcji kwadratowej, w których znajdziesz przykłady wyznaczania wzoru tych funkcji na podstawie danych, a przy okazji powtórzysz podstawy.

• Postać kanoniczna - własności funkcji #5 [Funkcja kwadratowa - postać ogólna i kanoniczna]
  
  

• Postać kanoniczna - zadania #6 [Funkcja kwadratowa - postać ogólna i kanoniczna]
  
  

• Postać iloczynowa #7 [Równania kwadratowe i postać iloczynowa]
  
  

Jeśli potrzebujesz przekrojowej powtórki najważniejszych zagadnień dotyczących funkcji, obejrzyj nagranie webinaru. Znajdziesz w nim wymienione powyżej zagadnienia i typowo maturalne zadania.

• #4 Przygotowanie do matury 2022 z matematyki (poziom podstawowy)
  
  

Kolejnym tematem, który pojawi się w naszym cyklu powtórkowym, będą ciągi.

Ćwiczenia interaktywne do działu „Funkcje” na portalu pistacja.tv

• Przesuwanie wykresów funkcji
• Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej
• Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej - proste przykłady
• Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej - trudniejsze przykłady