Kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to zagadnienia, które nie budzą zbyt wielkiej sympatii. Brak jednego powtarzalnego schematu rozwiązań może wywoływać uczucie zagubienia i chaosu. Ważne, aby pamiętać, że w każdym zadaniu przykładowo z prawdopodobieństwa klasycznego cel jest dokładnie ten sam – obliczenie tego prawdopodobieństwa.

Do tego celu wystarczą nam dwie liczby: liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych i liczba zdarzeń spełniających kryteria opisane w zadaniu. I ten cel musimy mieć przed oczami, a dopiero w drugiej kolejności szukamy sposobu, aby go osiągnąć. Metoda rysowania drzewka? Rozrysowanie tabeli? A może wypisanie wszystkich zdarzeń „na piechotę”? Wszystkie te drogi mogą okazać się prawidłowe, ale zwykle jedna z nich jest wygodniejsza i szybsza od pozostałych. Poznanie poszczególnych metod ma więc dać nam wybór, ale ten wybór wymaga nieco wprawy.

KOMBINATORYKA

— Obliczając zadania dotyczące kombinatoryki, odpowiadamy na pytania, na ile sposobów można coś zrobić albo ile jest liczb o danych własnościach. Do tego celu służy matematykom cała lista funkcji (jak permutacje, wariacje czy kombinacje), jednak maturzystę zdającego maturę na poziomie podstawowym interesują tylko sytuacje kombinatoryczne, które są proste, bądź takie, w których wystarczają reguła mnożenia i reguła dodawania. Jednym z najpopularniejszych zadań z zakresu kombinatoryki są zadania dotyczące liczb — tłumaczy Dobrawa Szlachcikowska, nauczycielka matematyki.

Spójrzmy na dwa przykłady, z których każde wymaga nieco innego podejścia.

W tym zadaniu każda informacja dotyczy tylko jednej cyfry, bo parzystość całej liczby zależy tylko od ostatniej cyfry. Ustalmy więc, ile różnych cyfr może znajdować się na każdym z czterech miejsc:

• Pierwsza cyfra ma być nieparzysta. Możemy tam więc postawić 1, 3, 5, 7 lub 9 (5 możliwości).
• Druga cyfra może być dowolna, mamy więc 10 możliwości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9.
• Trzecia cyfra, podobnie jak pierwsza, ma być nieparzysta, będzie to więc: 1, 3, 5, 7 lub 9 (5 możliwości).
• Czwarta musi być parzysta, żeby cała liczba była parzysta. Mamy więc do wyboru: 0, 2, 4, 6 lub 8 (5 możliwości).

Teraz, zgodnie z regułą mnożenia, wymnażamy poszczególne liczby – i zadanie rozwiązane.

Czym to zdanie różni się od poprzedniego?

Podzielność przez 4 dotyczy nie jednej, a dwóch ostatnich cyfr. Mimo tej komplikacji, zadanie nadal może być jednak rozwiązane za pomocą reguły mnożenia. Nasza liczba musi się kończyć liczbami: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, i tak dalej, aż do 96. Możemy więc uznać, że na dwa ostatnie miejsca przypada 25 możliwości, bo tyle jest końcówek szukanej liczby, spełniających kryterium podzielności przez 4.

Druga informacja psuje nam jednak szyki. Wiemy, że dwójka ma występować tylko raz, ale za to może być na każdym miejscu. Jeśli będzie na 3 lub 4 miejscu, to ograniczy nam możliwości związane z podzielnością. Najbezpieczniejszym i najbardziej czytelnym rozwiązaniem jest w takim przypadku zdefiniowanie czterech przypadków, oddzielnie dla każdego usytuowania naszej kłopotliwej dwójki, policzenie liczby wariantów dla każdego z nich (reguła mnożenia), a następnie ich zsumowanie (reguła dodawania).

Rozwiązanie tego zadania znajdziesz na końcu artykułu, ale zanim tam zajrzysz, spróbuj zmierzyć się z nim samodzielnie bazując na naszych podpowiedziach. Więcej zadań znajdziesz w pliku PDF.

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Zadania z obliczania klasycznego prawdopodobieństwa mogą być na różnym poziomie. Czasami możemy podać wynik praktycznie bez obliczeń, jak w przypadku pojedynczego rzutu kostką, a innym razem musimy sięgnąć po regułę mnożenia, wspomniane już drzewo prawdopodobieństwa, czy chociaż rozrysować sobie dane w formie tabeli.

Drzewo świetnie sprawdza się przy zdarzeniach kilkuetapowych, np.: losowanie dwóch kul z urny, w której wymieszane są kule w dwóch kolorach, czy trzykrotny rzut monetą.

Spróbuj rozwiązać to zadanie samodzielnie. Rozwiązanie znajdziesz na końcu artykułu.

A co z dwukrotnym rzutem kostką, który bardzo często występuje na maturze?

— W przypadku dwukrotnego rzutu kostką, jeśli będziemy chcieli rozrysować drzewo dla każdej liczby z kostki, to drzewko wyjdzie duże i mało czytelne, bo na drugim poziomie zakończymy je trzydziestoma sześcioma „gałęziami”. Gdy zadanie pozwala ograniczyć liczbę gałęzi – np. do wielokrotności liczby 3 i reszty liczb – to drzewko może się sprawdzić. Jednak uniwersalną metodą przy dwóch rzutach kostką jest rozpisanie możliwych wyników w tabeli. Tabela taka sprawdzi się także w każdym innym przypadku dwóch losowań, gdzie każde zdarzenie elementarne ma takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia – np. dwa rzuty monetą, rzut kostką i monetą, tworzenie liczb dwucyfrowych przez losowanie liczb ze zbiorów. Z tak przedstawionych danych łatwo możemy odczytać potrzebne informacje — komentuje Szlachcikowska.

Rozwiązanie na końcu artykułu.

STATYSTYKA

Statystykę zostawiliśmy sobie na koniec, bo najmniej dotyczy jej problem, o którym mówiliśmy na początku. Nie ma tu wielu metod, mamy natomiast listę wzorów i definicji, do których maturzysta ma dostęp na egzaminie maturalnym. Wystarczy zatem nauczyć się z nich prawidłowo korzystać. Co dokładnie należy do tej listy? Umiejętność obliczania średniej arytmetycznej i średniej ważonej, znajdowanie mediany i dominanty, oraz obliczanie odchylenia standardowego i jego interpretacja. W przypadku średnich, mediany czy dominanty często możemy natknąć się na zadania, w których wielkości te mamy podane, a niewiadomą jest jedna z danych. W przypadku korzystania ze wzorów, najmniej przyjaźnie wygląda ten na odchylenie standardowe. Przykłady obu zadań przedstawiamy poniżej.

Rozwiązania na końcu artykułu. Jeśli potrzebujesz przekrojowej powtórki z omawianych zagadnień, obejrzyj nagranie webinaru:

To już ostatni artykuł z naszego cyklu. Życzymy powodzenia na egzaminie!