Ciągi to bardzo przystępny i łatwy do opanowania temat. Aby się jednak o tym przekonać, trzeba się przebić przez otaczające go nowe pojęcia i wzory z całą masą liter. Można to zrobić korzystając z bardzo podstawowego narzędzia – grafów.

— Zawsze zaczynam od graficznego przedstawienia ciągów w formie grafu. Graf jest prosty, intuicyjny i znany uczniom od najmłodszych lat. Dzięki niemu możemy wprowadzić i powtórzyć takie pojęcia, jak kolejne wyrazy ciągu, różnicę czy iloraz ciągu, a także sumę n wyrazów. Wiele zamkniętych zadań maturalnych można rozwiązać za pomocą takiej wizualnej pomocy bez użycia wzorów, a i w przypadku zadań otwartych są one pomocą w uporządkowaniu danych i ustaleniu kolejności obliczeń – proponuje Dobrawa Szlachcikowska, nauczycielka matematyki.

Spójrzmy na poniższy graf. To ilustracja graficzna pierwszych pięciu wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego. Możemy na jego podstawie wyznaczyć sumę czy iloraz ciągu, obliczyć kolejne wyrazy, sumę początkowych n wyrazów.  

Jeśli chcesz zobaczyć, jak to wygląda w praktyce, obejrzyj nagranie webinaru:

Jakie tematy dotyczące ciągów sprawiają uczniom najwięcej trudności? Poniżej znajdziesz nasze typy.

ZADANIA Z SUMĄ

Zadania z sumą nie są zbyt lubiane przez uczniów, głównie ze względu na dość rozbudowane wzory i problemy z podstawieniem do nich danych. Należy jednak pamiętać, że suma to po prostu wynik dodawania. Suma początkowych pięciu wyrazów to wynik dodawania pięciu liczb, będących pierwszym, drugim, trzecim, czwartym i piątym wyrazem danego ciągu. Nic nie stoi na przeszkodzie, aby sumę liczyć właśnie w ten sposób – dodając wyrazy. Należy je tylko wcześniej wyznaczyć, np. korzystając z grafu. Wzór nie ma być utrudnieniem, a ułatwieniem, więc stosowanie go nie jest obowiązkowe. Jeśli do obliczenia mamy sumę pięciu pierwszych wyrazów, to obliczenia z wzorem i bez wzoru zajmą nam mniej więcej tyle samo czasu i miejsca. Jeśli jednak obliczyć mamy sumę stu pierwszych wyrazów, czy nawet dwudziestu, to użycie wzoru będzie znacznie szybsze.

Spróbuj swoich sił na konkretnych przykładach.

Rozwiązania i linki do innych przykładów znajdziesz na końcu artykułu. Pobierz PDF.

BADANIE, CZY DANY CIĄG JEST ROSNĄCY, CZY MALEJĄCY

Zadania dotyczące badania monotoniczności ciągu wymagają wykonywania działań na wzorach, a nie na konkretnych liczbach, co zawsze jest sporym wyzwaniem dla uczniów. Jak opanować ten temat?

— Przy badaniu, czy dany ciąg jest rosnący czy malejący, każdorazowo powtarza się te same kroki. Opanowanie tego schematu wymaga kilku ćwiczeń i przy pierwszym podejściu wydaje się skomplikowany. Jednak aby go opanować, wystarczy samodzielnie przejść przez kilka przykładów. Ile? Tyle, aby zaczęło wiać nudą, a badanie monotoniczności ciągu stało się dla nas zajęciem raczej monotonnym niż trudnym. Pamiętajmy jednak, że pamięć jest ulotna, i ustalmy rozsądny termin powtórki jeszcze przed maturą. Nie ma nic gorszego na maturze niż świadomość, że „to było takie proste, ale nie pamiętam, jak to się robiło” – radzi Dobrawa.

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest liczbą dodatnią, więc badany ciąg jest rosnący. A teraz przykład dla Ciebie:  

Rozwiązanie tego zadania i więcej przykładów (także nieco trudniejszych) znajdziesz w pdf-ie dołączonym artykułu, a na powtórkę z tego tematu zapraszamy na pistacja.tv:

ZADANIA OTWARTE

Nie jest dla nikogo zaskoczeniem, że zadania otwarte, zwłaszcza te za 3-4 punkty, są dla uczniów wyzwaniem. Wielu z nich nawet nie próbuje ich rozwiązywać. Jednak zadania otwarte z ciągów są w dużej mierze powtarzalne. Warto więc przełamać lęk i zainwestować czas w ich opanowanie. Poświęcenie 1-2 dni na ćwiczenie tego typu zadań spowoduje, że poradzimy sobie z większością otwartych zadań maturalnych z ciągów.

Poniżej przykładowe zadanie z rzeczywistego egzaminu maturalnego:  

Nie zrażaj się, jeśli nie wiesz, od czego zacząć. Obejrzyj zaproponowane webinary Pi-stacji i spróbuj jeszcze raz.

W drugiej połowie tego webinaru znajdziesz trzy zadania tego typu:

Kolejne znajduje się na samym końcu zaproponowanego już wcześniej nagrania:

Na dziś to już wszystko. Co nas czeka w kolejnym artykule? Wchodzimy w geometrię. W pierwszej kolejności zajmiemy się planimetrią i stereometrią.  

Przykładowe ćwiczenia interaktywne do działu „Ciągi” na portalu pistacja.tv:

• Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego - proste przykłady
• Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego - trudniejsze przykłady
• Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
• Badanie monotoniczności ciągu

Rozwiązania zadań z artykułu