Librus

Oficjalna aplikacja Librus

Powtarzamy! Liczby naturalne, całkowite, ułamki

Pierwsze kroki w uczeniu się matematyki stawiamy w świecie liczb naturalnych. Jest to etap bardzo intuicyjny, a przyswajanie nowych pojęć odbywa się dokładnie tak, jak w ich nazwie — czyli naturalnie. Skąd więc biorą się te problemy, gdzie tkwi ich źródło i jak sobie z nimi radzić, by sprawnie wkroczyć w kolejne labirynty matematycznych zmagań?

Pierwsze trudności pojawiają się przy wprowadzaniu ułamków, zwłaszcza ułamków zwykłych.

UŁAMKI

Czasami żartuję, że problem pojawia się, kiedy „połowa” zmienia się w „jedną drugą”. Wtedy uczeń widzi już tylko te straszne „ułamki” i logika się wyłącza. Prawda jest jednak taka, że pierwszy kontakt z ułamkami i kolorowanie części figur zwykle jest płynne i intuicyjne. Dopiero kiedy wprowadzamy działania na ułamkach, które trudno jest policzyć w pamięci, konieczne jest wypracowanie płynności w obliczeniach. Jej brak powoduje z czasem lęk przed ułamkami, który w skrajnej postaci nie pozwala uczniowi nawet w „jednej drugiej” dostrzec połowy — mówi Anna Soliwocka, nauczycielka matematyki.

Jak poradzić sobie z tym problemem?

Nie ma tu innego sposobu niż częste powtórki. Pamiętajmy jednak, by nie wzbudzać poczucia winy niepotrzebnymi komentarzami typu: to już powinieneś(-aś) umieć. To tylko pogłębi niechęć. Warto zrobić kolorowe plansze z każdym działaniem i zachęcać do pracy z nimi, tak, by uczeń samodzielnie mógł sobie przypomnieć każde z nich. Dzięki temu z czasem wystarczy już tylko jedno spojrzenie na taką planszę, aby odblokować prawidłowy sposób postępowania, a stąd już tylko krok do dobrego opanowania tego tematu. Jeśli uczeń ma problemy z działaniami na ułamkach w klasie ósmej, zalecam wracanie do nich przynajmniej raz w miesiącu, aż do egzaminu — radzi Ania.

Aby sprawdzić swoją sprawność w działaniach na ułamkach, spróbuj rozwiązać poniższe zadania:

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_1.jpga_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_2_poprawione.jpga_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_3.jpga_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_4.jpg

Odpowiedzi znajdziesz na końcu artykułu. Więcej podobnych ćwiczeń znajdziesz na pistacja.tv.

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalne_LR_graf_logo.png

Jeśli nie poszło Ci zbyt dobrze, zacznij od obejrzenia playlist Pi-stacji dotyczących działań na ułamkach:

  • Działania na ułamkach o jednakowych mianownikach


  • Działania na ułamkach o różnych mianownikach


  • Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

LICZBY UJEMNE

Kolejnym milowym krokiem jest wprowadzenie działań na liczbach ujemnych. Działania te są przez wielu uczniów postrzegane jak zmiana zasad w trakcie gry. Nagle minus w działaniu nie oznacza już tylko odejmowania, a może być integralną częścią liczby.

Warto wprowadzić i sztywno trzymać się jednego modelu, do którego uczeń będzie mógł się odnieść podczas wykonywania tego typu działań. Polecam model pionowy, np. termometr, ponieważ odnosi się do liczb ujemnych w najbardziej znanym uczniom kontekście. Uczeń intuicyjnie wie, jak przesuwać się po tak ustawionej osi, kiedy temperatura spada czy rośnie. Początkowo trzymamy się tylko liczb całkowitych, a do ułamków przechodzimy dopiero po ich opanowaniu — proponuje Ania.

Przykładowo: zapis

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_5.jpg

interpretujemy następująco:

Temperatura wynosiła 5 stopni Celsjusza, a następnie spadła o 12 stopni. Jaka jest teraz?

Inny przykład:

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_6.jpg

Temperatura wynosiła minus trzy stopnie i spadła o osiem.

Przy większych trudnościach warto każdorazowo rysować „termometr” w formie pionowej osi. Za każdym razem, kiedy uczeń napotka problemy z podobnym działaniem przy dalszych powtórkach, możemy przywołać skojarzenie z termometrem, nawet jeśli kontekst zadania jest inny — dodaje Ania.

Aby sprawdzić swoją znajomość działań na liczbach ujemnych (całkowitych), spróbuj rozwiązać poniższe zadania:

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalne_LR_graf_7.jpga_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_8.jpg

Odpowiedzi znajdziesz na końcu artykułu. Więcej podobnych ćwiczeń na pistacja.tv oraz w pliku PDF do pobrania.

Jeśli powyższe zadania sprawiają Ci problemy, warto powtórzyć działania na liczbach całkowitych oglądając poniższe filmy Pi-stacji:

Na co jeszcze warto zwrócić szczególną uwagę podczas powtórek?

Warto upewnić się, że uczeń rozumie podstawowe pojęcia, jak choćby wymienione już wcześniej liczby naturalne czy całkowite, a także pojęcia: liczba mieszana, ułamek niewłaściwy, itp. Pamiętajmy, że są to dla ucznia obce słowa, prawie nieużywane w codziennym języku. Bez powtórek i dobrych skojarzeń będą szybko ulatywały z pamięci. Przykładowo, liczby naturalne kojarzymy z naturą. Ile może być jabłek? Zero, jedno, dwa, a nawet milion, ale w naturze nie urośnie pół jabłka, ani minus jedno jabłko — proponuje Anna Soliwocka.

DZIELENIE PISEMNE

Musimy pamiętać także o tym, że uczniowie podczas egzaminu nie mogą mieć kalkulatora, a więc konieczna jest płynność w wykonywaniu działań w słupkach. Dodawanie i odejmowanie, a nawet mnożenie zwykle nie stanowią problemu, jednak z dzieleniem pisemnym problemy zgłasza spory odsetek ósmoklasistów — mówi Ania.

Aby sprawdzić stopień opanowania dzielenia pisemnego, spróbuj wykonać poniższe ćwiczenie:

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalne_LR_graf_9_poprawione.jpg

Rozwiązanie znajdziesz na końcu artykułu. W razie problemów, zrób małą powtórkę z filmem Pi-stacji:

Dzielenie w słupku wykorzystuje się także przy znajdowaniu rozwinięć dziesiętnych ułamków zwykłych. To kolejne, niełatwe dla uczniów zagadnienie dotyczące ułamków, które warto powtórzyć oglądając filmy:

  • Zamiana ułamków zwykłych na liczby dziesiętne


  • Rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych 

Następny artykuł z tej serii dotyczyć będzie potęg i pierwiastków. Napiszemy, co jest dla uczniów trudne i jak sobie z tymi trudnościami radzić. Wspólne powtórki dla ósmoklasistów, przygotowane przez Librus i Pi-stację, będą trwały aż do kwietnia. Ale mamy dla was coś jeszcze. Właśnie wystartowaliśmy z kursem e-mailowym, w którym krok po kroku przez 24 tygodnie przeprowadzimy ósmoklasistów przez powtórki kompleksowo przygotowujące do egzaminu z matematyki. Więcej informacji: https://pistacja.tv/kurs-osmoklasisty.

Wszystkie zadania, które znalazły się w treści artykułu oraz ich rozwiązania znajdziesz w pliku PDF do pobrania.

Ćwiczenia interaktywne do działu Liczby naturalne, całkowite i ułamki na portalu pistacja.tv:

Rozwiązania zadań z artykułu

a_powtarzamy_liczby_calkowite_naturalnee_LR_graf_10_poprawione.jpg

a_powtarzamy_liczby_rzeczywiste_LR_graf_6_poprawka.jpg



Interesuje Cię ta tematyka? Przeczytaj również:

Najbardziej aktualne artykuły: