W geometrii analitycznej przenosimy to, co znamy z planimetrii, do układu współrzędnych. Wierzchołki trójkąta stają się punktami o określonych współrzędnych, a boki zawierają się w prostych o określonych równaniach. Opanowanie geometrii analitycznej w kartezjańskim układzie współrzędnych sprowadza się do sprawnego posługiwania się takimi obiektami jak właśnie punkt, prosta, a także okrąg.

Dwa punkty pozwolą nam obliczyć długość odcinka, jego środek, czy wyznaczyć wzór prostej przechodzącej przez te punkty. Mając punkt i prostą możemy obliczyć odległość między nimi, wyznaczyć drugą prostą przechodzącą przez punkt, równoległą lub prostopadłą do pierwszej. Dwie proste mogą być prostopadłe lub równoległe, a jeśli nie są równoległe, to na pewno gdzieś się przecinają. Wyznaczyć więc możemy miejsce tego przecięcia. Mając równanie okręgu, możemy odczytać jego środek i  promień, a przy okazji zorientować się, jak jest on umiejscowiony w układzie współrzędnych i czy należy do niego dany punkt.

PODSTAWOWE KROKI

— W geometrii analitycznej największym wyzwaniem są zadania, w których polecenie nie odnosi się bezpośrednio do wymagań. Nie jest problemem wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, czy obliczenie odległości punktu od prostej. Ale już obliczenie wysokości trójkąta na podstawie współrzędnych wierzchołków będzie wyzwaniem, choć wymaga tych samych kroków. Aby nauczyć się dostrzegać konieczność użycia tych prostych kroków w większej całości, dobrze jest zastanowić się nad szerszym zastosowaniem każdego z nich. Warto też nanosić dane na rysunek nawet w najprostszych zadaniach, aby zamiast liczb i liter widzieć właśnie punkty, odcinki, proste i figury z nich powstałe. Brak wprawy w tym zakresie może uniemożliwić rozwiązywanie bardziej złożonych zadań. W zadaniach zamkniętych, w których nie ocenia się sposobu dojścia do wyniku, rysunek może okazać się wszystkim, co nam będzie potrzebne. Możemy bowiem bezpośrednio z niego odczytać współrzędne potrzebnych nam punktów, czy równania prostych. Pamiętać jednak należy, że w zadaniach otwartych obliczenia są konieczne, nawet jeśli „na oko” jesteśmy w stanie odczytać wynik – radzi Dobrawa Szlachcikowska, nauczycielka matematyki.

Przykładowo, gdy ćwiczymy obliczanie długości odcinka o końcach w punktach A i B, zastanówmy się, gdzie długość ta może mieć zastosowanie. Odcinek może być przecież bokiem figury, jej przekątną i każdą inną długością. Jeśli znamy współrzędne ich końców, długości boków pozwolą nam obliczyć obwód czy pole figury.

Spójrzmy na taki przykład.

Spróbuj rozwiązać je samodzielnie. Rozwiązanie znajdziesz na końcu artykułu.

Podobnie, gdy umiemy już stosować wzór na obliczanie odległości punktu od prostej, warto się zastanowić, gdzie ta umiejętność może mieć zastosowanie. Odległość wierzchołka trójkąta (punktu) od przeciwnego boku (który zawiera się w prostej) to nic innego, jak jedna z wysokości tego trójkąta – czyli przykład, o którym mówiliśmy na początku artykułu.

Szukana wysokość to odległość wierzchołka A od prostej zawierającej bok BC. Współrzędne wierzchołka mamy, nie mamy natomiast równania prostej. To będzie więc pierwszy krok w rozwiązaniu tego zadania. Więcej nie podpowiadamy, spróbuj samodzielnie. Rozwiązanie znajdziesz na końcu artykułu.

ZADANIA WIELOETAPOWE

Kiedy opanujemy już wszystkie niezbędne umiejętności podstawowe i przeanalizujemy je pod kątem zastosowań, możemy przejść do bardziej złożonych zadań.

— Tu określenie, co należy zrobić i w jakiej kolejności, może być nieco trudniejsze. Jednak z pomocą przychodzą nam rysunki, które uczyliśmy się tworzyć przy okazji prostszych zadań. Zaczynamy od naniesienia danych na układ współrzędnych, a potem staramy się znaleźć odpowiedź lub przynajmniej jej przybliżenie przez dorysowywanie niezbędnych elementów. Na początku warto sobie te kroki notować lub zaznaczać je kolorami. Kolejny krok to odtworzenie w formie obliczeń kolejności wykonywania etapów z rysunku – proponuje Dobrawa.

Przeanalizujmy tym sposobem następujące zadanie.

Obliczyć masz obwód trójkąta, potrzebne więc będą długości boków. Ilu? W sumie dwóch, bo to trójkąt równoramienny. Zauważ, że dwa wierzchołki masz podane, a więc długość ramienia możesz obliczyć od razu. Jak obliczyć długość podstawy? Bez rysunku może Ci być trudno. Nanieś więc dane na rysunek – oba wierzchołki i prostą. Następnie spróbuj dojść, gdzie powinna znajdować się reszta trójkąta, dorysowując ją cienkimi liniami. Udało Ci się znaleźć wierzchołek A? Jeśli nie, spójrz na poniższe rysunki.

Nie przywiązuj się jednak do tak uzyskanych współrzędnych. Rysunek ma służyć zorientowaniu się w sytuacji i znalezieniu drogi prowadzącej do wyniku. Sam wynik jednak musi być podany na podstawie obliczeń. Jak możemy odtworzyć kolejność rysowania w obliczeniach?  W pierwszym kroku narysowaliśmy prostą przechodzącą przez punkt B i prostopadłą do wysokości. Punkt i prosta – czy coś Ci to mówi? Możemy obliczyć odległość punktu B od prostej zawierającej wysokość lub wyznaczyć równanie tej prostej. Co nam da obliczenie odległości? Odległość punktu B od wysokości to nic innego jak połowa odcinka AB, który był nam potrzebny do obliczenia obwodu. Jeśli jednak przyszło Ci na myśl wyznaczenie równania prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt B, to także jesteś na dobrej, choć nieco dłuższej drodze. Rozwiązanie poszczególnych etapów tego zadania znajdziesz na końcu tego artykułu.

Poniżej znajdziesz nagranie webinaru, z którym możesz powtórzyć najważniejsze zagadnienia geometrii analitycznej.