Trygonometria to niewielki wycinek szkolnej matematycznej rzeczywistości, jednak potrafi sprawić sporo problemów. Aby go oswoić, trzeba podejść do tematu rzetelnie i systematycznie. Dlatego omówimy dziś wszystkie zagadnienia, które powinien powtórzyć tegoroczny maturzysta zdający maturę na poziomie podstawowym.

Warto tu zaznaczyć, że niczego nie musimy uczyć się na pamięć, gdyż wszystkie wzory i zależności znajdziemy w Wybranych wzorach matematycznych – publikacji Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, z której uczniowie mogą korzystać podczas pisania egzaminu maturalnego z matematyki. Dobrze jest więc je wydrukować i mieć stale przy sobie podczas powtórek, ucząc się przy okazji z nich korzystać.

Zacznijmy od definicji funkcji.

DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH KĄTA OSTREGO W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM

Powtórki najlepiej zacząć od funkcji trygonometrycznych kątów ostrych, czyli od definicji opartych na trójkącie prostokątnym. Tak wyglądają one w Wybranych wzorach matematycznych:

Poniżej dwa przykłady zadań wykorzystujących te podstawowe zależności (odpowiedzi na końcu artykułu).

Jeśli to zagadnienie wymaga powtórki, obejrzyj poniższe filmy Pi-stacji:

ZASTOSOWANIE TRYGONOMETRII W PLANIMETRII I STEREOMETRII

Po opanowaniu podstawowych zagadnień warto przećwiczyć zadania z planimetrii i stereometrii, w których należy skorzystać w funkcji trygonometrycznych.

— Jeśli w zadaniu geometrycznym znajdziemy trójkąt prostokątny z podanym kątem lub kąt ten mamy wyznaczyć, możemy być pewni, że sięgnięcie po funkcje trygonometryczne będzie dobrym rozwiązaniem. W trójkątach szczególnych możemy też skorzystać z gotowych zależności, jeśli je pamiętamy. W przeciwieństwie do funkcji trygonometrycznych, nie znajdziemy ich jednak w tablicach — podpowiada Dobrawa Szlachcikowska, nauczycielka matematyki.

Poniżej przygotowaliśmy trzy zadania o różnym stopniu trudności. Spróbuj znaleźć w nich trójkąty prostokątne i obliczyć je, korzystając z funkcji trygonometrycznych.

Możesz także obejrzeć film Pi-stacji o zastosowaniu funkcji trygonometrycznych w stereometrii:

DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH DOWOLNEGO KĄTA

Kolejnym krokiem na drodze od opanowania funkcji trygonometrycznych jest rozszerzenie ich definicji na dowolny kąt, gdyż jednym z wymagań jest posługiwanie się kątami w zakresie od 0 do 180 stopni. W Wybranych wzorach matematycznych znajdziemy gotową zależność:

Poniżej przykładowe zadanie:

Zadanie sprawiło Ci problem? Powtórz zagadnienie funkcji trygonometrycznych kąta rozwartego z Pi-stacją:

ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI TEGO SAMEGO KĄTA

Kolejnym wymaganiem jest stosowanie dwóch wzorów przedstawiających zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Podano je w Wybranych wzorach matematycznych:

Te dwa niewinne wzory są źródłem największych maturalnych wyzwań, gdyż wykorzystuje się je w zadaniach dotyczących tożsamości trygonometrycznych. Zabierając się na to zagadnienie warto mieć na uwadze, że w zadaniach tego typu bardzo często stosuje się także wzory skróconego mnożenia. Niejednokrotnie przyda się też umiejętność wyciągania przed nawias.

— Wiem, że wśród maturzystów krąży powiedzenie: „nie wiesz co robić, licz deltę”. Z mojego doświadczenia wynika jednak, że z deltą uczniowie radzą sobie bardzo dobrze i doskonale wiedzą, kiedy należy ją obliczyć. Podczas zajęć z maturzystami rzucam trochę żartem własne powiedzenie: „nie wiesz co robić, wyciągnij przed nawias”. Bardzo często zdarza się, że pozornie w zadaniu nie da się wykonać żadnego działania. Jest ono jednak skonstruowane tak, że wyciągnięcie przed nawias rozwiązuje wszystkie problemy i zadanie, mówiąc potocznie, rozwiązuje się dalej samo. Warto o tym pamiętać, zwłaszcza podczas przekształceń funkcji trygonometrycznych – komentuje Dobrawa.

Chcesz więcej? Mamy dla ciebie całą playlistę Pi-stacji dotyczącą stosowania tych wzorów. Zacznij od tego filmu:

TWIERDZENIE COSINUSÓW I WZÓR NA POLE TRÓJKĄTA Z SINUSEM

To dwa zagadnienia, które obowiązują maturzystów dopiero od zeszłego roku. Oba wzory znajdziemy w Wybranych wzorach matematycznych w dziale PLANIMETRIA.

Twierdzenie cosinusów to nic innego jak uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. Pozwala nam ono rozwiązywać dowolne trójkąty. Wspomniany wzór na pole trójkąta przydaje się, kiedy nie znamy wysokości trójkąta, za to znamy dwa jego boki i kąt między nimi.

Spójrzmy na zadanie dotyczące jednej z tych zależności.

Jeśli potrzebujesz pomocy, obejrzyj filmy Pi-stacji dotyczące omawianych zagadnień:

Przykładowe ćwiczenia interaktywne do działu „Trygonometria” na portalu pistacja.tv

• Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
• Rozwiązywanie trójkątów
• Zadania geometryczne
• Wzór na pole trójkąta z sinusem