#matura
Powtarzamy! Statystyka i prawdopodobieństwo #matura
Powtarzamy! Planimetria i stereometria
Dziś naszym tematem są planimetria i stereometria, czyli geometria na płaszczyźnie i ta w przestrzeni trójwymiarowej. Zakres materiału sięga szkoły podstawowej, więc punktów do powtórki jest sporo. Warto do tematu podejść w uporządkowany sposób, aby niczego nie pominąć. Będzie to dobrze zainwestowany czas, bo zadań tego typu jest sporo na egzaminie maturalnym.
— Wystarczy sięgnąć po wymagania egzaminacyjne CKE i przeczytać te z działu Planimetria, wypisując słowa, których nie rozumiemy. Przeanalizowanie tych wymagań da nam też czytelną i, co ważniejsze, ograniczoną liczbę zagadnień — radzi Dobrawa Szlachcikowska, nauczycielka matematyki.
Przechodzimy do kolejnej trudności. Widząc zadanie z planimetrii często nie wiemy, od czego zacząć. Kiedy ktoś nam je wytłumaczy, zazwyczaj okazuje się, że było proste, a użyta do rozwiązania zależność była nam znana. Jak jednak się rozeznać, mówiąc potocznie, „co do czego”?
— Tu właśnie przydaje się ta ograniczona lista. Na przykład, kiedy widzimy zadanie z okręgiem, w którym mamy obliczyć któryś kąt, i nie mamy na nie pomysłu, w pierwszej kolejności szukamy w wymaganiach tych dotyczących kątów w okręgu. W tym przypadku możemy z dużym prawdopodobieństwem założyć, że chodzi o własności kątów wpisanych i środkowych albo o kąt między styczną a cięciwą. A może w okręgu powstał jakiś trójkąt i przyda się wiedza o sumie kątów w trójkącie? – podpowiada Dobrawa Szlachcikowska.
Największym problemem, jak powiedzieliśmy przed chwilą, jest dobranie odpowiedniego narzędzia do rozwiązania danego zadania. Jednak warto się upewnić, czy potrafimy z nich korzystać we właściwy sposób.
— Problemy stwarza prawidłowe użycie zwłaszcza twierdzenia Talesa, twierdzenia o dwusiecznej kąta, czy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą — twierdzi Dobrawa Szlachcikowska.
Niemałe trudności sprawia też zastosowanie funkcji trygonometrycznych, ale temu ostatniemu zagadnieniu poświęcimy osobny artykuł już za trzy tygodnie.
Poniżej kolejny przykład zadania, tym razem dotyczący twierdzenia Talesa.
Jeśli nie pamiętasz twierdzenia Talesa, obejrzyj film Pi-stacji omawiający ten temat.
— W pierwszej kolejności zalecam ćwiczenie rysowania brył. W większości zadań maturalnych mamy rysunki, ale nie we wszystkich. Na rysunki te trzeba też niejednokrotnie nanieść pewne odcinki, a to wymaga wprawy i wyobraźni przestrzennej. Nie jest to jednak coś, czego nie da się wyćwiczyć. Brak rysunku lub rysunek zrobiony niechlujnie mogą być przyczyną błędnych założeń, a co za tym idzie, nieprawidłowych obliczeń. Wprawa w rysowaniu brył pozwala też lepiej interpretować gotowe już rysunki i nanosić na nie dane z zadania — radzi Dobrawa.
— Sporym wyzwaniem dla uczniów są zadania, które ja nazywam „zadaniami wstecz”. W tego typu zadaniach objętość czy pole powierzchni są dane i to one stanowią punkt wyjścia. W prostym wariancie będzie to znalezienie krawędzi sześcianu znając jego objętość, w trudniejszym dojdzie nam zależność między krawędziami, czy nawet zastosowanie trygonometrii — dodaje nauczycielka.
Spójrzmy na dwa przykłady (rozwiązania na końcu artykułu).
— W wielu zadaniach ze stereometrii zastosowanie znajdują własności trójkątów prostokątnych, w tym twierdzenie Pitagorasa – kiedy dane mamy dwa boki – i funkcje trygonometryczne – kiedy dany jest kąt i jeden bok. Trzeba więc umieć odnaleźć te trójkąty na rysunkach. Ich prawidłowe zaznaczanie warto więc włączyć w ćwiczenia rysowania brył — sugeruje Dobrawa Szlachcikowska.
Poniżej zadanie, w którym trzeba odnaleźć taki trójkąt i skorzystać z jego własności.
Zadania z treści artykułu znajdziesz w poniższym pliku do pobrania.
PLANIMETRIA
Planimetria to mnogość pojęć, jak np. cięciwa, dwusieczna, kąt wpisany, kąt środkowy i wiele innych. W pierwszej kolejności warto się upewnić, że pojęcia te są dobrze rozumiane. Dobrym pomysłem jest przygotowanie ilustracji, na których kolorami zaznaczymy mylące się nam pojęcia, i pracowanie z nimi podczas rozwiązywania zadań powtórzeniowych. Skąd wziąć listę obowiązujących pojęć?— Wystarczy sięgnąć po wymagania egzaminacyjne CKE i przeczytać te z działu Planimetria, wypisując słowa, których nie rozumiemy. Przeanalizowanie tych wymagań da nam też czytelną i, co ważniejsze, ograniczoną liczbę zagadnień — radzi Dobrawa Szlachcikowska, nauczycielka matematyki.
Przechodzimy do kolejnej trudności. Widząc zadanie z planimetrii często nie wiemy, od czego zacząć. Kiedy ktoś nam je wytłumaczy, zazwyczaj okazuje się, że było proste, a użyta do rozwiązania zależność była nam znana. Jak jednak się rozeznać, mówiąc potocznie, „co do czego”?
— Tu właśnie przydaje się ta ograniczona lista. Na przykład, kiedy widzimy zadanie z okręgiem, w którym mamy obliczyć któryś kąt, i nie mamy na nie pomysłu, w pierwszej kolejności szukamy w wymaganiach tych dotyczących kątów w okręgu. W tym przypadku możemy z dużym prawdopodobieństwem założyć, że chodzi o własności kątów wpisanych i środkowych albo o kąt między styczną a cięciwą. A może w okręgu powstał jakiś trójkąt i przyda się wiedza o sumie kątów w trójkącie? – podpowiada Dobrawa Szlachcikowska.
Największym problemem, jak powiedzieliśmy przed chwilą, jest dobranie odpowiedniego narzędzia do rozwiązania danego zadania. Jednak warto się upewnić, czy potrafimy z nich korzystać we właściwy sposób.
— Problemy stwarza prawidłowe użycie zwłaszcza twierdzenia Talesa, twierdzenia o dwusiecznej kąta, czy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą — twierdzi Dobrawa Szlachcikowska.
Niemałe trudności sprawia też zastosowanie funkcji trygonometrycznych, ale temu ostatniemu zagadnieniu poświęcimy osobny artykuł już za trzy tygodnie.
Poniżej kolejny przykład zadania, tym razem dotyczący twierdzenia Talesa.
Jeśli nie pamiętasz twierdzenia Talesa, obejrzyj film Pi-stacji omawiający ten temat.
STEREOMETRIA
Przejdźmy do stereometrii. Warto przypomnieć, że uczniów w tym roku szkolnym nie obowiązują na maturze bryły obrotowe (walec, stożek, kula). Możemy więc skupić się na powtórkach dotyczących graniastosłupów i ostrosłupów. Na co zwrócić szczególną uwagę?— W pierwszej kolejności zalecam ćwiczenie rysowania brył. W większości zadań maturalnych mamy rysunki, ale nie we wszystkich. Na rysunki te trzeba też niejednokrotnie nanieść pewne odcinki, a to wymaga wprawy i wyobraźni przestrzennej. Nie jest to jednak coś, czego nie da się wyćwiczyć. Brak rysunku lub rysunek zrobiony niechlujnie mogą być przyczyną błędnych założeń, a co za tym idzie, nieprawidłowych obliczeń. Wprawa w rysowaniu brył pozwala też lepiej interpretować gotowe już rysunki i nanosić na nie dane z zadania — radzi Dobrawa.
— Sporym wyzwaniem dla uczniów są zadania, które ja nazywam „zadaniami wstecz”. W tego typu zadaniach objętość czy pole powierzchni są dane i to one stanowią punkt wyjścia. W prostym wariancie będzie to znalezienie krawędzi sześcianu znając jego objętość, w trudniejszym dojdzie nam zależność między krawędziami, czy nawet zastosowanie trygonometrii — dodaje nauczycielka.
Spójrzmy na dwa przykłady (rozwiązania na końcu artykułu).
— W wielu zadaniach ze stereometrii zastosowanie znajdują własności trójkątów prostokątnych, w tym twierdzenie Pitagorasa – kiedy dane mamy dwa boki – i funkcje trygonometryczne – kiedy dany jest kąt i jeden bok. Trzeba więc umieć odnaleźć te trójkąty na rysunkach. Ich prawidłowe zaznaczanie warto więc włączyć w ćwiczenia rysowania brył — sugeruje Dobrawa Szlachcikowska.
Poniżej zadanie, w którym trzeba odnaleźć taki trójkąt i skorzystać z jego własności.
Zadania z treści artykułu znajdziesz w poniższym pliku do pobrania.
Interesuje Cię ta tematyka? Przeczytaj również:
Najbardziej aktualne artykuły:
